miércoles, 25 de marzo de 2009
miércoles, 18 de marzo de 2009
los poliedros regulares
Los Poliedros Regulares
Resumen.
Se muestran los cinco poliedros regulares que existen y se presenta la fórmula de Euler.
Objetivo.
Aprender que solamente hay cinco poliedros regulares y pensar porqué.
Conocer la fórmula de Euler, comprobarla para los cinco poliedros regulares y pensar porqué es válida para cualquier poliedro cerrado.
Actividades recomendadas.
Contar los vértices, aristas y caras de los poliedros regulares. Comprobar la fórmula de Euler en estos casos. Para ello se recomienda utilizar el modelo "COLORES" porque ayuda a distinguir las caras. Pensar porqué no hay más poliedros regulares empezando por razonar porqué no se puede formar un poliedro regular con hexágonos.
--------------------------------------------------------------------------------
¿Sabías que sólo hay 5 poliedros regulares?
¿Sabías que en todos los poliedros cerrados la suma de los vértices menos las aristas más las caras es 2?
El más sencillo de los poliedros regulares es el tetraedro que, como su nombre indica, tiene cuatro caras triangulares. Los triángulos de las caras son todos triángulos equiláteros.
¿Cuántos vértices tiene el tetraedro?
¿Cuántas aristas tiene el tetraedro?
Si V es el número de vértices, A el número de aristas y C el número de caras, ¿es verdad que V-A+C=2?
El cubo tiene seis caras cuadradas por lo cual a veces también se le llama hexaedro regular.
¿Cuántos vértices tiene el cubo?
¿Cuántas aristas tiene el cubo?
Si V es el número de vértices, A el número de aristas y C el número de caras, ¿es verdad que V-A+C=2?
El octaedro tiene ocho caras triangulares.
¿Cuános vértices tiene el octaedro?
¿Cuántas aristas tiene el octaedro?
Si V es el número de vértices, A el número de aristas y C el número de caras, ¿es verdad que V-A+C=2?
El dodecaedro tiene doce caras pentagonales. ¿Cuános vértices tiene el dodecaedro?
¿Cuános vértices tiene el dodecaedro?
¿Cuántas aristas tiene el dodecaedro?
Si V es el número de vértices, A el número de aristas y C el número de caras, ¿es verdad que V-A+C=2?
Finalmente el icosaedro tiene veinte caras triangulares.
¿Cuános vértices tiene el icosaedro?
¿Cuántas aristas tiene el icosaedro?
Si V es el número de vértices, A el número de aristas y C el número de caras, ¿es verdad que V-A+C=2?
¿Por qué crees que sólo hay cinco poliedros regulares? ¿Por qué no puede haber uno más de los que aquí se muestran?
Un poliedro regular debe tener algún polígono regular, el mismo, en todas sus caras.
Observa que de los poliedros presentados tres están formados por triángulos, uno por cuadrados y uno por pentágonos. No hay ninguno formado por hexágonos o polígonos de más lados. ¿Se podría formar algún otro poliedro regular con triángulos? ¿Se podría formar algún otro con cuadrados? ¿Se podría formar algún otro con pentágonos? ¿Por qué no?
¿Por qué no se puede formar ningún poliedro regular con hexágonos?
La fórmula V-A+C=2 que se cumple en los poliedros regulares también se cumple en cualquier poliedro cerrado, aunque no sea regular. Se llama la fórmula de Euler. ¿Puedes pensar en una demostración de ésta para todos los poliedros cerrados?
La idea es sencilla. Primero demuestras que el poliedro se puede convertir en uno en que todas sus caras son triángulos. Esto se logra agregando aristas a las caras. Agregar una arista a una cara agrega también un nueva cara con lo cual la suma V-A+C no se altera. Quitamos ahora una de las caras, la suma V-A+C disminuye en uno pues no se quita ningún vértice y ninguna arista. Ahora seguimos quitando caras (que son triángulos) de la orilla, es decir, que tengan alguna arista libre. Si quitas un triángulo que tiene una sola arista libre entonces quitas sólo una arista y una cara, con lo cual la suma V-A+C no se altera. Si quitamos un triángulo que tiene dos aristas libres entonces desaparecen al mismo tiempo un vértice y una cara con lo cual la suma V-A+C tampoco se altera. Continuamos de esta manera hasta que queda un solo triángulo que es el único caso que tiene tres aristas libres y en este caso es obvio que V-A+C=1, así que si sumamos la cara que quitamos al comenzar nos queda que V-A+C=2, que es lo que queríamos demostrar.
Resumen.
Se muestran los cinco poliedros regulares que existen y se presenta la fórmula de Euler.
Objetivo.
Aprender que solamente hay cinco poliedros regulares y pensar porqué.
Conocer la fórmula de Euler, comprobarla para los cinco poliedros regulares y pensar porqué es válida para cualquier poliedro cerrado.
Actividades recomendadas.
Contar los vértices, aristas y caras de los poliedros regulares. Comprobar la fórmula de Euler en estos casos. Para ello se recomienda utilizar el modelo "COLORES" porque ayuda a distinguir las caras. Pensar porqué no hay más poliedros regulares empezando por razonar porqué no se puede formar un poliedro regular con hexágonos.
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¿Sabías que sólo hay 5 poliedros regulares?
¿Sabías que en todos los poliedros cerrados la suma de los vértices menos las aristas más las caras es 2?
El más sencillo de los poliedros regulares es el tetraedro que, como su nombre indica, tiene cuatro caras triangulares. Los triángulos de las caras son todos triángulos equiláteros.
¿Cuántos vértices tiene el tetraedro?
¿Cuántas aristas tiene el tetraedro?
Si V es el número de vértices, A el número de aristas y C el número de caras, ¿es verdad que V-A+C=2?
El cubo tiene seis caras cuadradas por lo cual a veces también se le llama hexaedro regular.
¿Cuántos vértices tiene el cubo?
¿Cuántas aristas tiene el cubo?
Si V es el número de vértices, A el número de aristas y C el número de caras, ¿es verdad que V-A+C=2?
El octaedro tiene ocho caras triangulares.
¿Cuános vértices tiene el octaedro?
¿Cuántas aristas tiene el octaedro?
Si V es el número de vértices, A el número de aristas y C el número de caras, ¿es verdad que V-A+C=2?
El dodecaedro tiene doce caras pentagonales. ¿Cuános vértices tiene el dodecaedro?
¿Cuános vértices tiene el dodecaedro?
¿Cuántas aristas tiene el dodecaedro?
Si V es el número de vértices, A el número de aristas y C el número de caras, ¿es verdad que V-A+C=2?
Finalmente el icosaedro tiene veinte caras triangulares.
¿Cuános vértices tiene el icosaedro?
¿Cuántas aristas tiene el icosaedro?
Si V es el número de vértices, A el número de aristas y C el número de caras, ¿es verdad que V-A+C=2?
¿Por qué crees que sólo hay cinco poliedros regulares? ¿Por qué no puede haber uno más de los que aquí se muestran?
Un poliedro regular debe tener algún polígono regular, el mismo, en todas sus caras.
Observa que de los poliedros presentados tres están formados por triángulos, uno por cuadrados y uno por pentágonos. No hay ninguno formado por hexágonos o polígonos de más lados. ¿Se podría formar algún otro poliedro regular con triángulos? ¿Se podría formar algún otro con cuadrados? ¿Se podría formar algún otro con pentágonos? ¿Por qué no?
¿Por qué no se puede formar ningún poliedro regular con hexágonos?
La fórmula V-A+C=2 que se cumple en los poliedros regulares también se cumple en cualquier poliedro cerrado, aunque no sea regular. Se llama la fórmula de Euler. ¿Puedes pensar en una demostración de ésta para todos los poliedros cerrados?
La idea es sencilla. Primero demuestras que el poliedro se puede convertir en uno en que todas sus caras son triángulos. Esto se logra agregando aristas a las caras. Agregar una arista a una cara agrega también un nueva cara con lo cual la suma V-A+C no se altera. Quitamos ahora una de las caras, la suma V-A+C disminuye en uno pues no se quita ningún vértice y ninguna arista. Ahora seguimos quitando caras (que son triángulos) de la orilla, es decir, que tengan alguna arista libre. Si quitas un triángulo que tiene una sola arista libre entonces quitas sólo una arista y una cara, con lo cual la suma V-A+C no se altera. Si quitamos un triángulo que tiene dos aristas libres entonces desaparecen al mismo tiempo un vértice y una cara con lo cual la suma V-A+C tampoco se altera. Continuamos de esta manera hasta que queda un solo triángulo que es el único caso que tiene tres aristas libres y en este caso es obvio que V-A+C=1, así que si sumamos la cara que quitamos al comenzar nos queda que V-A+C=2, que es lo que queríamos demostrar.
los cuerpos geométricos
Los cuerpos geométricos.
Se denominan cuerpos geométricos a aquellos elementos que, ya sean reales o ideales — que existen en la realidad o pueden concebirse mentalmente — ocupan un volumen en el espacio desarrollándose por lo tanto en las tres dimensiones de alto, ancho y largo; y están compuestos por figuras geométricas.
Las líneas que corresponden a los lados comunes de los diversos planos que componen los cuerpos geométricos, se denominan aristas.
Ir al principio
El estudio de los cuerpos geométricos comprende:
Su clasificación;
Su diagrama y construcción;
El cálculo de su superficie total;
El cálculo de su volumen.
Ir al principio
Clases de cuerpos geométricos.
Se distinguen dos clases de cuerpos geométricos:
Los poliedros — o cuerpos planos, que son cuerpos geométricos compuestos exclusivamente por figuras geométricas planas; como por ejemplo el cubo;
Los cuerpos redondos — que son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por figuras geométricas curvas; como por ejemplo el cilindro, la esfera o el cono.
Ir al principio
Los poliedros.
Los poliedros son cuerpos geométricos que están compuestos exclusivamente por superficies planas, que se denominan caras del poliedro. Se distinguen dos clases de poliedros:
Los poliedros regulares — en los cuales todas las caras son iguales.
Los poliedros irregulares — en los cuales no se trata de que todas sus caras sean distintas, sino de que tienen caras que comprenden más de un tipo de figuras planas (por ejemplo, una piedra preciosa tallada, o los caireles de una lámpara).
La representaciótricos gráfica de los cuerpos geométricos en general, presenta la dificultad de que, teniendo tres dimensiones, solamente pueden representarse en el plano dos dimensiones; por lo cual se recurre a una técnica de dibujo, la perspectiva, que permite dar la sensación tridimensional.
Ir al principio
Los poliedros regulares.
Los poliedros regulares son cinco:
El cubo — que está compuesto por seis caras cuadradas; motivo por el cual se le conoce también con el nombre de exaedro regular, (exaedro = cuerpo con 6 caras).
El tetraedro regular — compuesto por cuatro caras con forma de triángulos equiláteros.
El octaedro regular — compuesto por ocho caras con forma de triángulos equiláteros, en forma de dos pirámides unidas por sus base.
El icosaedro regular — compuesto por veinte caras con forma de triángulos equiláteros, que tiene un eje plano exagonal.
El dodecaedro regular — compuesto por doce caras con forma de pentágono.
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Los principales poliedros irregulares.
Los principales poliedros irregulares son:
El prisma — que está compuesto por caras laterales rectangulares (que pueden ser cuadradas); y bases con forma de triángulo, cuadrado (salvo cuando las caras también lo son, en cuyo caso es un cubo), pentágono, exágono u otro polígono regular.
El prisma oblicuo — que es similar al prima, pero con dos lados de forma romboidal; por lo cual solamente puede tener bases cuadradas.
La pirámide recta — compuesto por una base con forma de polígono regular, y lados triangulares cuya base son los lados del polígono, y unen todos su vértices en un mismo punto, también llamado vértice de la pirámide; el cual se encuentra sobre la perpendicular a la base que pasa por su centro.
La pirámide inclinada — similar a la anterior, pero cuyo vértice se encuentra sobre una perpendicular a la base que no pasa por su centro.
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Los principales poliedros redondos.
Los principales poliedros redondos son:
El cilindro — que está compuesto dos bases circulares y una superficie curva continua, equivalente a un rectángulo.
El cono — compuesto por una base circular, y una superficie curva que la rodea y se une en un vértice que se encuentra sobre la perpendicular a la base que pasa por su centro.
El cono truncado — que siendo similar a un cono, tiene una base conformada por un plano inclinado, con lo cual adopta una forma de elipse.
La esfera — que es circular en todos sus planos centrales.
La semiesfera — que es una esfera que ha sido cortada por uno de sus planos circulares, de manera que tiene una base circular y una cúpula esférica.
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Diagrama y construcción de poliedros.
El diagrama de un poliedro, consiste el despliegue de todos sus planos, unidos por un lado común, sobre un plano único.
Ese despliegue, tendrá dos utilidades principales; una que permitirá un diseño con el cual construir los poliedros en materiales apropiados (como cartulina, chapa metálica o madera laminar), y otra que conducirá al modo de calcular la superficie lateral.
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Construcción de poliedros.
Para lograr la construcción de poliedros, debe procederse a confeccionar un diagrama considerando cuidadosamente las dimensiones de sus planos y su lados comunes; de manera que ulteriormente sea posible, en el caso de utilizar un material que lo permita, realizar pliegues sobre las líneas desus aristas, hasta hacer coincidir los demás bordes y proceder a unirlos como aristas.
A efectos de poder efectuar la unión de las aristas que son líneas libres en el diagrama, puede ser necesario agregar a ellas una pestaña; que permita solaparla con la cara opuesta del arista, mediante el uso de una sustancia adherente adecuada. Para construir más facilmente poliedros de cartulina, esas uniones pueden sostenerse mediante cintas adhesivas.
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Cálculo de la superficie lateral de los poliedros.
La medida de la superficie de las figuras planas, se designa corrientemente en geometría con el nombre de área. Ella se expresa en unidades de medida de superficie, que se basan en la figura del cuadrado; por lo cual se llaman metros, decímetros o centímetros cuadrados.
El punto de partida para la determinación del método aritmético de cálculo de la medida de la superficie comprendida en las figuras geométricas planas, es el estudio del cuadrado.
Subdividiendo un cuadrado en varios cuadrados cuyo lado sea una parte del cuadrado original, resulta fácil apreciar que la cantidad de cuadrados menores — que pueden considerarse como unidad de medida — es igual a la multiplicación del número de cuadrados contenidos en dos de los lados del cuadrado originario: 5 × 5 = 25.
Conviniendo en denominar base al lado horizontal del cuadrado original, y altura el vertical; el procedimiento de cálculo de la superficie del cuadro puede expresarse en la fórmula:
SUPERFICIE DEL CUADRADO = BASE × ALTURA
En el caso del rectángulo, el mismo procedimiento permite establecer que el procedimiento de cálculo de su superficie es igual al del cuadrado: 5 × 8 = 40.
SUPERFICIE DEL RECTÁNGULO = BASE × ALTURA
La fórmula de cálculo del área del triángulo, es una derivación de las anteriores, atendiendo a que la diagonal de rectángulos lo divide en dos triángulos; por lo cual la superficie de todo triángulo es igual a la mitad de la del polígono que resultaría de duplicarlo tomando uno de sus lados como eje de simetría: 5 × 8 = 40 ÷ 2 = 20.
Si se observa un trapecio, se percibe que cada una de sus diagonales lo convierte en la suma de dos triángulos.
Por lo tanto, la superficie de un trapecio es la suma de las superficies de uno de los dos pares de triángulos que se forman al trazar una diagonal.
En el trapecio, se denomina base mayor al mayor de sus lados paralelos, y base menor al otro lado paralelo. De tal manera, la base mayor resulta ser la base de uno de los triángulos, y la base menor resulta ser la base del otro; en tanto que la altura del trapecio es la altura de ambos triángulos. Puede obtenerse la suma de ambas superficies en una única operación, sumando ambas bases, dividiendo el resultado entre 2, y multiplicando por la altura: 9 + 6 = 15 ÷ 2 = 7,5 × 5 = 37,5.
Ir al principio
Propiedad fundamental de los polígonos regulares.
Observando las resultantes del estudio de las líneas de los polígonos regulares se detecta la siguiente propiedad fundamental:
En todos los polígonos regulares, el trazado de sus radios los divide en tantos triángulos como lados posean; cuyas alturas son iguales al apotema del polígono, y cuyas bases sumadas son iguales al perímetro del polígono.
En consecuencia, la superficie de un polígono regular será igual a la suma de las superficies de los triángulos que lo forman. Extendiendo la fórmula de cálculo de la superficie del triángulo, se deduce:
Ir al principio
Superficie del círculo.
Considerando el círculo como un polígono regular cuyos lados son cada uno de los puntos que componen su circunferencia, ésta resulta ser su perímetro; y el radio es a la vez el apotema respecto de cada uno de esos puntos.
La circunferencia es una línea difícil de medir; pero puede calcularse a partir de la medida del radio, aplicando la propiedad fundamental del círculo.
La propiedad fundamental del círculo, consiste en que existe una relación permanente entre su radio y la medida de su circunferencia, que es un valor constante de 3,1416; el cual se designa con la letra griega PI.
En consecuencia, aplicando al círculo la regla general para el cálculo de la superficie de un polígono regular, se concluye:
Ir al principio
Superficie de los polígonos irregulares.
Cualquier polígono irregular, puede descomponerse en triágulos, mediante el trazado de sus diagonales; o complementando éstas con perpendiculares desde un vértice a una diagonal.
Por lo tanto, conociendo la medida de las líneas que conformen las bases y alturas de esos triángulos, será posible calcular su superficie; y sumarla para obtener la superficie total del polígono irregular
Se denominan cuerpos geométricos a aquellos elementos que, ya sean reales o ideales — que existen en la realidad o pueden concebirse mentalmente — ocupan un volumen en el espacio desarrollándose por lo tanto en las tres dimensiones de alto, ancho y largo; y están compuestos por figuras geométricas.
Las líneas que corresponden a los lados comunes de los diversos planos que componen los cuerpos geométricos, se denominan aristas.
Ir al principio
El estudio de los cuerpos geométricos comprende:
Su clasificación;
Su diagrama y construcción;
El cálculo de su superficie total;
El cálculo de su volumen.
Ir al principio
Clases de cuerpos geométricos.
Se distinguen dos clases de cuerpos geométricos:
Los poliedros — o cuerpos planos, que son cuerpos geométricos compuestos exclusivamente por figuras geométricas planas; como por ejemplo el cubo;
Los cuerpos redondos — que son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por figuras geométricas curvas; como por ejemplo el cilindro, la esfera o el cono.
Ir al principio
Los poliedros.
Los poliedros son cuerpos geométricos que están compuestos exclusivamente por superficies planas, que se denominan caras del poliedro. Se distinguen dos clases de poliedros:
Los poliedros regulares — en los cuales todas las caras son iguales.
Los poliedros irregulares — en los cuales no se trata de que todas sus caras sean distintas, sino de que tienen caras que comprenden más de un tipo de figuras planas (por ejemplo, una piedra preciosa tallada, o los caireles de una lámpara).
La representaciótricos gráfica de los cuerpos geométricos en general, presenta la dificultad de que, teniendo tres dimensiones, solamente pueden representarse en el plano dos dimensiones; por lo cual se recurre a una técnica de dibujo, la perspectiva, que permite dar la sensación tridimensional.
Ir al principio
Los poliedros regulares.
Los poliedros regulares son cinco:
El cubo — que está compuesto por seis caras cuadradas; motivo por el cual se le conoce también con el nombre de exaedro regular, (exaedro = cuerpo con 6 caras).
El tetraedro regular — compuesto por cuatro caras con forma de triángulos equiláteros.
El octaedro regular — compuesto por ocho caras con forma de triángulos equiláteros, en forma de dos pirámides unidas por sus base.
El icosaedro regular — compuesto por veinte caras con forma de triángulos equiláteros, que tiene un eje plano exagonal.
El dodecaedro regular — compuesto por doce caras con forma de pentágono.
Ir al principio
Los principales poliedros irregulares.
Los principales poliedros irregulares son:
El prisma — que está compuesto por caras laterales rectangulares (que pueden ser cuadradas); y bases con forma de triángulo, cuadrado (salvo cuando las caras también lo son, en cuyo caso es un cubo), pentágono, exágono u otro polígono regular.
El prisma oblicuo — que es similar al prima, pero con dos lados de forma romboidal; por lo cual solamente puede tener bases cuadradas.
La pirámide recta — compuesto por una base con forma de polígono regular, y lados triangulares cuya base son los lados del polígono, y unen todos su vértices en un mismo punto, también llamado vértice de la pirámide; el cual se encuentra sobre la perpendicular a la base que pasa por su centro.
La pirámide inclinada — similar a la anterior, pero cuyo vértice se encuentra sobre una perpendicular a la base que no pasa por su centro.
Ir al principio
Los principales poliedros redondos.
Los principales poliedros redondos son:
El cilindro — que está compuesto dos bases circulares y una superficie curva continua, equivalente a un rectángulo.
El cono — compuesto por una base circular, y una superficie curva que la rodea y se une en un vértice que se encuentra sobre la perpendicular a la base que pasa por su centro.
El cono truncado — que siendo similar a un cono, tiene una base conformada por un plano inclinado, con lo cual adopta una forma de elipse.
La esfera — que es circular en todos sus planos centrales.
La semiesfera — que es una esfera que ha sido cortada por uno de sus planos circulares, de manera que tiene una base circular y una cúpula esférica.
Ir al principio
Diagrama y construcción de poliedros.
El diagrama de un poliedro, consiste el despliegue de todos sus planos, unidos por un lado común, sobre un plano único.
Ese despliegue, tendrá dos utilidades principales; una que permitirá un diseño con el cual construir los poliedros en materiales apropiados (como cartulina, chapa metálica o madera laminar), y otra que conducirá al modo de calcular la superficie lateral.
Ir al principio
Construcción de poliedros.
Para lograr la construcción de poliedros, debe procederse a confeccionar un diagrama considerando cuidadosamente las dimensiones de sus planos y su lados comunes; de manera que ulteriormente sea posible, en el caso de utilizar un material que lo permita, realizar pliegues sobre las líneas desus aristas, hasta hacer coincidir los demás bordes y proceder a unirlos como aristas.
A efectos de poder efectuar la unión de las aristas que son líneas libres en el diagrama, puede ser necesario agregar a ellas una pestaña; que permita solaparla con la cara opuesta del arista, mediante el uso de una sustancia adherente adecuada. Para construir más facilmente poliedros de cartulina, esas uniones pueden sostenerse mediante cintas adhesivas.
Ir al principio
Cálculo de la superficie lateral de los poliedros.
La medida de la superficie de las figuras planas, se designa corrientemente en geometría con el nombre de área. Ella se expresa en unidades de medida de superficie, que se basan en la figura del cuadrado; por lo cual se llaman metros, decímetros o centímetros cuadrados.
El punto de partida para la determinación del método aritmético de cálculo de la medida de la superficie comprendida en las figuras geométricas planas, es el estudio del cuadrado.
Subdividiendo un cuadrado en varios cuadrados cuyo lado sea una parte del cuadrado original, resulta fácil apreciar que la cantidad de cuadrados menores — que pueden considerarse como unidad de medida — es igual a la multiplicación del número de cuadrados contenidos en dos de los lados del cuadrado originario: 5 × 5 = 25.
Conviniendo en denominar base al lado horizontal del cuadrado original, y altura el vertical; el procedimiento de cálculo de la superficie del cuadro puede expresarse en la fórmula:
SUPERFICIE DEL CUADRADO = BASE × ALTURA
En el caso del rectángulo, el mismo procedimiento permite establecer que el procedimiento de cálculo de su superficie es igual al del cuadrado: 5 × 8 = 40.
SUPERFICIE DEL RECTÁNGULO = BASE × ALTURA
La fórmula de cálculo del área del triángulo, es una derivación de las anteriores, atendiendo a que la diagonal de rectángulos lo divide en dos triángulos; por lo cual la superficie de todo triángulo es igual a la mitad de la del polígono que resultaría de duplicarlo tomando uno de sus lados como eje de simetría: 5 × 8 = 40 ÷ 2 = 20.
Si se observa un trapecio, se percibe que cada una de sus diagonales lo convierte en la suma de dos triángulos.
Por lo tanto, la superficie de un trapecio es la suma de las superficies de uno de los dos pares de triángulos que se forman al trazar una diagonal.
En el trapecio, se denomina base mayor al mayor de sus lados paralelos, y base menor al otro lado paralelo. De tal manera, la base mayor resulta ser la base de uno de los triángulos, y la base menor resulta ser la base del otro; en tanto que la altura del trapecio es la altura de ambos triángulos. Puede obtenerse la suma de ambas superficies en una única operación, sumando ambas bases, dividiendo el resultado entre 2, y multiplicando por la altura: 9 + 6 = 15 ÷ 2 = 7,5 × 5 = 37,5.
Ir al principio
Propiedad fundamental de los polígonos regulares.
Observando las resultantes del estudio de las líneas de los polígonos regulares se detecta la siguiente propiedad fundamental:
En todos los polígonos regulares, el trazado de sus radios los divide en tantos triángulos como lados posean; cuyas alturas son iguales al apotema del polígono, y cuyas bases sumadas son iguales al perímetro del polígono.
En consecuencia, la superficie de un polígono regular será igual a la suma de las superficies de los triángulos que lo forman. Extendiendo la fórmula de cálculo de la superficie del triángulo, se deduce:
Ir al principio
Superficie del círculo.
Considerando el círculo como un polígono regular cuyos lados son cada uno de los puntos que componen su circunferencia, ésta resulta ser su perímetro; y el radio es a la vez el apotema respecto de cada uno de esos puntos.
La circunferencia es una línea difícil de medir; pero puede calcularse a partir de la medida del radio, aplicando la propiedad fundamental del círculo.
La propiedad fundamental del círculo, consiste en que existe una relación permanente entre su radio y la medida de su circunferencia, que es un valor constante de 3,1416; el cual se designa con la letra griega PI.
En consecuencia, aplicando al círculo la regla general para el cálculo de la superficie de un polígono regular, se concluye:
Ir al principio
Superficie de los polígonos irregulares.
Cualquier polígono irregular, puede descomponerse en triágulos, mediante el trazado de sus diagonales; o complementando éstas con perpendiculares desde un vértice a una diagonal.
Por lo tanto, conociendo la medida de las líneas que conformen las bases y alturas de esos triángulos, será posible calcular su superficie; y sumarla para obtener la superficie total del polígono irregular
los números romanos
Numeración romana:
Es un sistema de numeración que usa letras mayúsculas a las que se ha asignado un valor numérico.
Este tipo de numeración debe utilizarse lo menos posible, sobre todo por las dificultades de lectura y escritura que presenta.
Se usa principalmente:
En los números de capítulos y tomos de una obra.
En los actos y escenas de una obra de teatro.
En los nombres de papas, reyes y emperadores.
En la designación de congresos, olimpiadas, asambleas, certámenes...
Reglas:
La numeración romana utiliza siete letras mayúsculas a las que corresponden los siguientes valores:
Letras
I
V
X
L
C
D
M
Valores
1
5
10
50
100
500
1.000
Ejemplos: XVI = 16; LXVI = 66
Si a la derecha de una cifra romana de escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior.
Ejemplos: VI = 6; XXI = 21; LXVII = 67
La cifra "I" colocada delante de la "V" o la "X", les resta una unidad; la "X", precediendo a la "L" o a la "C", les resta diez unidades y la "C", delante de la "D" o la "M", les resta cien unidades.
Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900
En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas. En la antigüedad se ve a veces la "I" o la "X" hasta cuatro veces seguidas.
Ejemplos: XIII = 13; XIV = 14; XXXIII = 33; XXXIV = 34
La "V", la "L" y la "D" no pueden duplicarse porque otras letras ("X", "C", "M") representan su valor duplicado.
Ejemplos: X = 10; C = 100; M = 1.000
Si entre dos cifras cualesquiera existe otra menor, ésta restará su valor a la siguiente.
Ejemplos: XIX = 19; LIV = 54; CXXIX = 129
El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos.
Ejemplos: = 1.000.000
Algunos números romanos
1 = I
2 = II
3 = III
4 = IV
5 = V
6 = VI
7 = VII
8 = VIII
9 = IX
10 = X
11 = XI
12 = XII
13 = XIII
14 = XIV
15 = XV
16 = XVI
17 = XVII
18 = XVIII
19 = XIX
20 = XX
21 = XXI
29 = XXIX
30 = XXX
31 = XXXI
39 = XXXIX
40 = XL
50 = L
51 = LI
59 = LIX
60 = LX
61 = LXI
68 = LXVIII
69 = LXIX
70 = LXX
71 = LXXI
74 = LXXIV
75 = LXXV
77 = LXXVII
78 = LXXVIII
79 = LXXIX
80 = LXXX
81 = LXXXI
88 = LXXXVIII
89 = LXXXIX
90 = XC
91 = XCI
99 = XCIX
100 = C
101 = CI
109 = CIX
114 = CXIV
149 = CXLIX
399 = CCCXCIX
400 = CD
444 = CDXLIV
445 = CDXLV
449 = CDXLIX
450 = CDL
899 = DCCCXCIX
900 = CM
989 = CMLXXXIX
990 = CMXC
999 = CMXCIX
1.000 = M
1.010 = MX
1.050 = ML
Fracción
De Wikipedia, la enciclopedia libre
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Para otros usos de este término, véase Fracción (desambiguación).
En matemáticas, una fracción (del vocablo latín frāctus, fractĭo -ōnis'[1] , roto), o quebrado es la expresión de una cantidad dividida por otra.
tres cuartos más un cuarto
Diversas fracciones pueden tener el mismo valor (llamadas fracciones equivalentes), y el conjunto de todas las fracciones equivalentes se denomina, en sentido estricto, número racional.
Contenido[ocultar]
1 Representación de las fracciones
2 Clasificación de fracciones
3 Fracción de una cantidad
4 Operaciones con fracciones
5 Véase también
6 Referencias
7 Enlaces externos
//
Representación de las fracciones [editar]
Las fracciones se pueden representar de diversas formas, así, la fracción "tres dividido entre cuatro", "tres entre cuatro" o "tres cuartos" puede escribirse de cualquiera de estas formas:
3 ÷ 4
3 : 4
3/4
En este ejemplo, el número 3 es llamado numerador y el 4 denominador. Las fracciones son números racionales, lo que significa que el numerador y el denominador son números enteros. También pueden ser representadas de forma decimal o gráfica. En el ejemplo de 3/4, representado en decimal da como resultado 0.75, mismo resultado que se obtiene al dividir 3 ÷ 4. En el caso de una representación gráfica se podría imaginar un círculo dividido en cuatro partes de igual proporción, de los cuales se le retiraría una de las cuatro partes, las siguientes tres partes sobrantes representarían la fracción 3/4.
Clasificación de fracciones [editar]
Existen diversas formas para clasificar fracciones, entre ellas estan las siguientes:
Según la relación entre el numerador y el denominador:
Fracción propia: fracción que tiene su denominador mayor que su numerador: 3/6, 2/5, 3/4
Fracción impropia: fracción en donde el denominador es menor que el numerador: 13/6, 18/8, 4/2
Según la relación entre los denominadores:
Fracción homogénea: fracciones que tienen el mismo denominador: 3/4 y 7/4
Fracción heterogénea: fracciones que tienen diferentes denominadores.
Según la relación entre el numerador y el denominador:
Fracción reducible: fracción en la que el numerador y el denominador no son primos entre sí y puede ser simplificada.
Fracción irreducible: fracción en la que el numerador y el denominador son primos entre sí, y, por tanto, no puede ser simplificada.
Otras clasificaciones:
Fracción unitaria: fracción común de numerador 1.
Fracción egipcia: sistema de representación de las fracciones en el Antiguo Egipto en el que cada fracción se expresa como suma de fracciones unitarias.
Fracción aparente o entera: fracción que representa el entero: 3/3=1 4/4=1
Fracción decimal: fracción cuyo denominador es una potencia de diez. También puede ser una fracción expresada en base 10, en contraposición con las fracciones binarias y demás, que están expresadas en otros sistemas de numeración.
Fracción mixta: suma de un entero y una fracción propia. Las fracciones mixtas se pueden expresar como fracciones impropias.
Una fracción irracional es, dado que todas las fracciones deben poder ser expresadas como fracciones vulgares, una término autocontradictorio. Un número irracional es, por definición, no racional, es decir, no puede ser expresado como una fracción vulgar.
Una fracción continua es una expresión como ésta:
donde los ai son enteros positivos.
Fracción compuesta: fracción cuyo numerador o denominador (o los dos) contiene a su vez fracciones.
Fracción parcial: la que puede usarse para descomponer una función racional.
Fracción de una cantidad [editar]
Si queremos dividir una cantidad en varias partes e indicar un número de esas partes, podemos hacerlo mediante fracciones, dividiendo la cantidad por el denominador y multiplicando el resultado por el numerador. Así, si queremos indicar 3/4 (tres cuartos, o tres cuartas partes) de 453, hay que dividir 453 entre el denominador (en este caso, 4) y multiplicar el resultado por el numerador (en este caso, 3). El número obtenido es la fracción que queremos indicar.
Operaciones con fracciones [editar]
Suma de fracciones
Resta de fracciones
Multiplicación de fracciones
División de fracciones
Comparación de fracciones
Amplificación y simplificación de fracciones
Véase también [editar]
Números racionales
Porcentaje
Frecuencia estadística
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Para otros usos de este término, véase Fracción (desambiguación).
En matemáticas, una fracción (del vocablo latín frāctus, fractĭo -ōnis'[1] , roto), o quebrado es la expresión de una cantidad dividida por otra.
tres cuartos más un cuarto
Diversas fracciones pueden tener el mismo valor (llamadas fracciones equivalentes), y el conjunto de todas las fracciones equivalentes se denomina, en sentido estricto, número racional.
Contenido[ocultar]
1 Representación de las fracciones
2 Clasificación de fracciones
3 Fracción de una cantidad
4 Operaciones con fracciones
5 Véase también
6 Referencias
7 Enlaces externos
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Representación de las fracciones [editar]
Las fracciones se pueden representar de diversas formas, así, la fracción "tres dividido entre cuatro", "tres entre cuatro" o "tres cuartos" puede escribirse de cualquiera de estas formas:
3 ÷ 4
3 : 4
3/4
En este ejemplo, el número 3 es llamado numerador y el 4 denominador. Las fracciones son números racionales, lo que significa que el numerador y el denominador son números enteros. También pueden ser representadas de forma decimal o gráfica. En el ejemplo de 3/4, representado en decimal da como resultado 0.75, mismo resultado que se obtiene al dividir 3 ÷ 4. En el caso de una representación gráfica se podría imaginar un círculo dividido en cuatro partes de igual proporción, de los cuales se le retiraría una de las cuatro partes, las siguientes tres partes sobrantes representarían la fracción 3/4.
Clasificación de fracciones [editar]
Existen diversas formas para clasificar fracciones, entre ellas estan las siguientes:
Según la relación entre el numerador y el denominador:
Fracción propia: fracción que tiene su denominador mayor que su numerador: 3/6, 2/5, 3/4
Fracción impropia: fracción en donde el denominador es menor que el numerador: 13/6, 18/8, 4/2
Según la relación entre los denominadores:
Fracción homogénea: fracciones que tienen el mismo denominador: 3/4 y 7/4
Fracción heterogénea: fracciones que tienen diferentes denominadores.
Según la relación entre el numerador y el denominador:
Fracción reducible: fracción en la que el numerador y el denominador no son primos entre sí y puede ser simplificada.
Fracción irreducible: fracción en la que el numerador y el denominador son primos entre sí, y, por tanto, no puede ser simplificada.
Otras clasificaciones:
Fracción unitaria: fracción común de numerador 1.
Fracción egipcia: sistema de representación de las fracciones en el Antiguo Egipto en el que cada fracción se expresa como suma de fracciones unitarias.
Fracción aparente o entera: fracción que representa el entero: 3/3=1 4/4=1
Fracción decimal: fracción cuyo denominador es una potencia de diez. También puede ser una fracción expresada en base 10, en contraposición con las fracciones binarias y demás, que están expresadas en otros sistemas de numeración.
Fracción mixta: suma de un entero y una fracción propia. Las fracciones mixtas se pueden expresar como fracciones impropias.
Una fracción irracional es, dado que todas las fracciones deben poder ser expresadas como fracciones vulgares, una término autocontradictorio. Un número irracional es, por definición, no racional, es decir, no puede ser expresado como una fracción vulgar.
Una fracción continua es una expresión como ésta:
donde los ai son enteros positivos.
Fracción compuesta: fracción cuyo numerador o denominador (o los dos) contiene a su vez fracciones.
Fracción parcial: la que puede usarse para descomponer una función racional.
Fracción de una cantidad [editar]
Si queremos dividir una cantidad en varias partes e indicar un número de esas partes, podemos hacerlo mediante fracciones, dividiendo la cantidad por el denominador y multiplicando el resultado por el numerador. Así, si queremos indicar 3/4 (tres cuartos, o tres cuartas partes) de 453, hay que dividir 453 entre el denominador (en este caso, 4) y multiplicar el resultado por el numerador (en este caso, 3). El número obtenido es la fracción que queremos indicar.
Operaciones con fracciones [editar]
Suma de fracciones
Resta de fracciones
Multiplicación de fracciones
División de fracciones
Comparación de fracciones
Amplificación y simplificación de fracciones
Véase también [editar]
Números racionales
Porcentaje
Frecuencia estadística
los poliedros
Poliedro
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Poliedros
Un poliedro en el sentido dado por la Geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas que encierran un volumen finito.
Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el polígono es el semejante topológico de dos dimensiones del poliedro; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos; por lo que podemos definir un poliedro como un politopo tridimensional.
Contenido[ocultar]
1 Elementos notables de un poliedro
2 Criterios de clasificación de los poliedros
3 Familias de poliedros
3.1 Poliedros regulares
3.1.1 Sólidos platónicos
3.2 Poliedros irregulares
3.2.1 Sólidos arquimedianos
3.2.2 Prismas y antiprismas
3.3 Otras familias de poliedros
3.3.1 Sólidos de Johnson
3.3.2 Bipirámides y trapezoedros
3.3.3 Sólidos de Catalan
3.3.4 Deltaedros
4 Bibliografía
5 Véase también
6 Enlaces externos
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Elementos notables de un poliedro [editar]
En un poliedro cualquiera podemos distinguir los siguientes tres elementos notables principales:
Sus caras, que son las porciones de plano que limitan el cuerpo, tienen forma de polígonos.
Sus aristas, que son los segmentos en los que se encuentran dos caras.
Sus vértices, que son los puntos del poliedro en los que se reúnen tres o más aristas. El orden de un vértice es el número de caras (o aristas) que concurren en él.
Asimismo, también podemos hablar de:
Sus diagonales, que son los segmentos que unen vértices no consecutivos del poliedro (aquellos que no están unidos entre sí por una arista).
Podemos llamar arista a la intersección de dos y sólo dos caras del poliedro
Criterios de clasificación de los poliedros [editar]
Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de donde provienen o de las características que los diferencian; según sus características, se distinguen:
Convexos como el cubo, o el tetraedro, cuando cualquier par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta también interno. En el caso que dicho segmento se salga del cuerpo se dice Poliedros cóncavos, como es el caso del Toroide facetado y los Sólidos de Kepler-Poinsot
Poliedro de caras regulares cuando todas las caras del poliedro son polígonos regulares.
Poliedro de caras uniformes cuando todas las caras son iguales.
Se dice Poliedro de aristas uniformes cuando en todas sus aristas se reúnen el mismo par de caras.
Se dice Poliedro de vértices uniformes cuando en todos los vértices del poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden.
Se dice Poliedro regular o regular y uniforme, como el Tetraedro o el Icosaedro cuando es de caras regulares, de caras uniformes de vértices uniformes y de aristas uniformes.
Estos grupos no son exclusivos, es decir, un poliedro puede estar incluido en más de uno de ellos.
Familias de poliedros [editar]
Poliedros regulares [editar]
Sólidos platónicos [editar]
Tetraedro
Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Sólo existen cinco de ellos: el Tetraedro, el Cubo, el Octaedro, el Dodecaedro y el Icosaedro. El nombre del grupo proviene del hecho que los griegos adjudicaban a estos cuerpos cada uno de los "elementos fundamentales": tierra, agua, aire y fuego, y el restante, el dodecaedro, a la divinidad. Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros, de estos se derivan los Sólidos de Arquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez siguen generando más familias.
Poliedros irregulares [editar]
Sólidos arquimedianos [editar]
Cuboctaedro
Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos de de caras regulares y vértices uniformes pero no de caras uniformes, fueron ampliamente trabajados por Arquímedes. Algunos se les puede hallar truncando los sólidos platónicos, son 11: el Tetraedro truncado, el Cuboctaedro, el Cubo truncado, el Octaedro truncado, el Rombicuboctaedro, el Cuboctaedro truncado, el Icosidodecaedro, el Dodecaedro truncado, el Icosaedro truncado, el Rombicosidodecaedro y el Icosidodecaedro truncado.
Y 2 más que no se obtienen truncando sólidos platónicos: el Cubo romo y el Icosidodecaedro romo. Estas dos figuras tienen caso isomórfico, es decir una figura de espejo correspondiente.
Prismas y antiprismas [editar]
Los prismas y los antiprismas son los únicos poliedros convexos y uniformes restantes. Todos ellos fueron estudiados por Kepler quien los clasificó. Los prismas y antiprismas son grupos infinitos. Todos los prismas se construyen con dos caras paralelas llamadas directrices que le dan el nombre al prisma y una serie de paralelogramos, tantos como lados tenga la cara directriz. Por ejemplo el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se compone de 2 triángulos y 3 paralelogramos; tiene 9 aristas y 6 vértices de orden 3 donde convergen siempre dos paralelogramos y un triángulo. Otro ejemplo sería el Prisma decagonal que se compone de 2 decágonos + 10 paralelogramos; tiene 30 aristas y 20 vértices de orden 3. Los antiprismas tienen una construcción parecida, dos caras paralelas y una serie de triángulos; el número de lados de las cara directriz multiplicado por dos; así el antiprisma cuadrado se compone de 2 cuadrados y 8 triángulos; tiene 8 vértices y 16 aristas.
Otras familias de poliedros [editar]
Sólidos de Johnson [editar]
Son un grupo extenso que contiene los poliedros convexos, de caras regulares restantes, sólo uno de ellos es uniforme y fueron clasificados y ampliamente estudiados por Norman Johnson.
Son en total 92 y entre ellos se enumeran:
Pirámide triangular elongada
Rotunda pentagonal elongada
Girobifastigium
Girobicupola cuadrángular giroelongada que es él único cuerpo de este grupo que sigue siendo uniforme.
etc
Bipirámides y trapezoedros [editar]
Bipirámide (octaedro).
Este grupo consiste en los duales de los prismas y antiprismas respectivamente; por ende también es un grupo infinito. Son poliedros de caras uniformes pero no son de de caras regulares, ni de vértices uniformes, ni de aristas uniformes
Sólidos de Catalan [editar]
Hexaquisoctaedro
Se obtienen logrando el dual de los sólidos de Arquímedes, el dual es básicamente el reemplazo de una cara por un vértice y viceversa. Por ejemplo el dual del icosaedro (20 caras y 12 vértices) es el dodecaedro (12 caras y 20 vértices) y el dual del dodecaedro es el icosaedro. No son de caras regulares y no todos son de caras uniformes.
Entre los Sólidos de Catalán se encuentran: El Triaquistetraedro; el rombododecaedro; el Triaquisoctaedro; el Tetraquishexaedro; el Icositetraedro deltoidal; el Hexaquisoctaedro; el Icositetraedro pentagonal; el Triacontaedro rómbico; el Triaquisicosaedro; el Pentaquisdodecaedro; el Hexecontaedro deltoidal; el Hexaquisicosaedro y el Hexecontaedro pentagonal. 13 en total.
Deltaedros [editar]
Se llaman deltaedros a los cuerpos que sólo están formados por triángulos equilateros, no constituyen un grupo excluyente de sólidos: del grupo de los Sólidos platónicos se encuentran el Tetraedro, el Octaedro, Icosaedro y del grupo de los Sólidos de Johnson están la Bipirámide triangular, la Bipirámide pentagonal, la Bipirámide cuadrada giroelongada, el Biesfenoide romo y el Prisma triangular triaumentado. papei
Bibliografía [editar]
QUINCE SALAS, Ricardo. Propiedades elementales de los poliedros regulares. Santander: [s.n.], 1974. 17 p. Comunicación presentada a las Reuniones sobre Geometría aplicada a la Arquitectura y a la Ingeniería Civil.
QUINCE SALAS, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Teoría y ejercicios. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 202 p.
QUINCE SALAS, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Tomo 2: soluciones. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 124 p.
Véase también [editar]
Sólidos platónicos
Teorema de poliedros de Euler.
Politopo
Enlaces externos [editar]
Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Poliedro.Commons
Poliedros reguleres e irregulares (en gallego)
Poliedros: Modelos de Papel
Jardín del poliedro
Poliedros Regulares y Prismas en 3D
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Poliedros
Un poliedro en el sentido dado por la Geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas que encierran un volumen finito.
Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el polígono es el semejante topológico de dos dimensiones del poliedro; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos; por lo que podemos definir un poliedro como un politopo tridimensional.
Contenido[ocultar]
1 Elementos notables de un poliedro
2 Criterios de clasificación de los poliedros
3 Familias de poliedros
3.1 Poliedros regulares
3.1.1 Sólidos platónicos
3.2 Poliedros irregulares
3.2.1 Sólidos arquimedianos
3.2.2 Prismas y antiprismas
3.3 Otras familias de poliedros
3.3.1 Sólidos de Johnson
3.3.2 Bipirámides y trapezoedros
3.3.3 Sólidos de Catalan
3.3.4 Deltaedros
4 Bibliografía
5 Véase también
6 Enlaces externos
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Elementos notables de un poliedro [editar]
En un poliedro cualquiera podemos distinguir los siguientes tres elementos notables principales:
Sus caras, que son las porciones de plano que limitan el cuerpo, tienen forma de polígonos.
Sus aristas, que son los segmentos en los que se encuentran dos caras.
Sus vértices, que son los puntos del poliedro en los que se reúnen tres o más aristas. El orden de un vértice es el número de caras (o aristas) que concurren en él.
Asimismo, también podemos hablar de:
Sus diagonales, que son los segmentos que unen vértices no consecutivos del poliedro (aquellos que no están unidos entre sí por una arista).
Podemos llamar arista a la intersección de dos y sólo dos caras del poliedro
Criterios de clasificación de los poliedros [editar]
Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de donde provienen o de las características que los diferencian; según sus características, se distinguen:
Convexos como el cubo, o el tetraedro, cuando cualquier par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta también interno. En el caso que dicho segmento se salga del cuerpo se dice Poliedros cóncavos, como es el caso del Toroide facetado y los Sólidos de Kepler-Poinsot
Poliedro de caras regulares cuando todas las caras del poliedro son polígonos regulares.
Poliedro de caras uniformes cuando todas las caras son iguales.
Se dice Poliedro de aristas uniformes cuando en todas sus aristas se reúnen el mismo par de caras.
Se dice Poliedro de vértices uniformes cuando en todos los vértices del poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden.
Se dice Poliedro regular o regular y uniforme, como el Tetraedro o el Icosaedro cuando es de caras regulares, de caras uniformes de vértices uniformes y de aristas uniformes.
Estos grupos no son exclusivos, es decir, un poliedro puede estar incluido en más de uno de ellos.
Familias de poliedros [editar]
Poliedros regulares [editar]
Sólidos platónicos [editar]
Tetraedro
Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Sólo existen cinco de ellos: el Tetraedro, el Cubo, el Octaedro, el Dodecaedro y el Icosaedro. El nombre del grupo proviene del hecho que los griegos adjudicaban a estos cuerpos cada uno de los "elementos fundamentales": tierra, agua, aire y fuego, y el restante, el dodecaedro, a la divinidad. Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros, de estos se derivan los Sólidos de Arquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez siguen generando más familias.
Poliedros irregulares [editar]
Sólidos arquimedianos [editar]
Cuboctaedro
Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos de de caras regulares y vértices uniformes pero no de caras uniformes, fueron ampliamente trabajados por Arquímedes. Algunos se les puede hallar truncando los sólidos platónicos, son 11: el Tetraedro truncado, el Cuboctaedro, el Cubo truncado, el Octaedro truncado, el Rombicuboctaedro, el Cuboctaedro truncado, el Icosidodecaedro, el Dodecaedro truncado, el Icosaedro truncado, el Rombicosidodecaedro y el Icosidodecaedro truncado.
Y 2 más que no se obtienen truncando sólidos platónicos: el Cubo romo y el Icosidodecaedro romo. Estas dos figuras tienen caso isomórfico, es decir una figura de espejo correspondiente.
Prismas y antiprismas [editar]
Los prismas y los antiprismas son los únicos poliedros convexos y uniformes restantes. Todos ellos fueron estudiados por Kepler quien los clasificó. Los prismas y antiprismas son grupos infinitos. Todos los prismas se construyen con dos caras paralelas llamadas directrices que le dan el nombre al prisma y una serie de paralelogramos, tantos como lados tenga la cara directriz. Por ejemplo el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se compone de 2 triángulos y 3 paralelogramos; tiene 9 aristas y 6 vértices de orden 3 donde convergen siempre dos paralelogramos y un triángulo. Otro ejemplo sería el Prisma decagonal que se compone de 2 decágonos + 10 paralelogramos; tiene 30 aristas y 20 vértices de orden 3. Los antiprismas tienen una construcción parecida, dos caras paralelas y una serie de triángulos; el número de lados de las cara directriz multiplicado por dos; así el antiprisma cuadrado se compone de 2 cuadrados y 8 triángulos; tiene 8 vértices y 16 aristas.
Otras familias de poliedros [editar]
Sólidos de Johnson [editar]
Son un grupo extenso que contiene los poliedros convexos, de caras regulares restantes, sólo uno de ellos es uniforme y fueron clasificados y ampliamente estudiados por Norman Johnson.
Son en total 92 y entre ellos se enumeran:
Pirámide triangular elongada
Rotunda pentagonal elongada
Girobifastigium
Girobicupola cuadrángular giroelongada que es él único cuerpo de este grupo que sigue siendo uniforme.
etc
Bipirámides y trapezoedros [editar]
Bipirámide (octaedro).
Este grupo consiste en los duales de los prismas y antiprismas respectivamente; por ende también es un grupo infinito. Son poliedros de caras uniformes pero no son de de caras regulares, ni de vértices uniformes, ni de aristas uniformes
Sólidos de Catalan [editar]
Hexaquisoctaedro
Se obtienen logrando el dual de los sólidos de Arquímedes, el dual es básicamente el reemplazo de una cara por un vértice y viceversa. Por ejemplo el dual del icosaedro (20 caras y 12 vértices) es el dodecaedro (12 caras y 20 vértices) y el dual del dodecaedro es el icosaedro. No son de caras regulares y no todos son de caras uniformes.
Entre los Sólidos de Catalán se encuentran: El Triaquistetraedro; el rombododecaedro; el Triaquisoctaedro; el Tetraquishexaedro; el Icositetraedro deltoidal; el Hexaquisoctaedro; el Icositetraedro pentagonal; el Triacontaedro rómbico; el Triaquisicosaedro; el Pentaquisdodecaedro; el Hexecontaedro deltoidal; el Hexaquisicosaedro y el Hexecontaedro pentagonal. 13 en total.
Deltaedros [editar]
Se llaman deltaedros a los cuerpos que sólo están formados por triángulos equilateros, no constituyen un grupo excluyente de sólidos: del grupo de los Sólidos platónicos se encuentran el Tetraedro, el Octaedro, Icosaedro y del grupo de los Sólidos de Johnson están la Bipirámide triangular, la Bipirámide pentagonal, la Bipirámide cuadrada giroelongada, el Biesfenoide romo y el Prisma triangular triaumentado. papei
Bibliografía [editar]
QUINCE SALAS, Ricardo. Propiedades elementales de los poliedros regulares. Santander: [s.n.], 1974. 17 p. Comunicación presentada a las Reuniones sobre Geometría aplicada a la Arquitectura y a la Ingeniería Civil.
QUINCE SALAS, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Teoría y ejercicios. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 202 p.
QUINCE SALAS, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Tomo 2: soluciones. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 124 p.
Véase también [editar]
Sólidos platónicos
Teorema de poliedros de Euler.
Politopo
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Poliedros: Modelos de Papel
Jardín del poliedro
Poliedros Regulares y Prismas en 3D
miércoles, 11 de marzo de 2009
Los poligonos
Los polígonos
1. Polígono convexo y cóncavo
Llamamos polígono a una parte del plano limitado por una línea quebrada cerrada.
En el dibujo hay dos polígonos: el A y el B.
El polígono A tiene todos los ángulos menores de 180º y se llama convexo.
El polígono B tiene un ángulo mayor de 180º y se llama cóncavo.
2. Clases de polígonos por el número de lados
El polígono de 3 lados se llama triángulo; de 4 cuadrilátero; de 5 pentágono; de 6 exágono; de 7 heptágono; de 8 octógono; de 9 eneágono y de 10 lados decágono.
Contesta a estas preguntas:
El polígono A es... |
|
El B es... |
|
El C es... |
|
El D es... |
|
El E es... |
|
3.- Polígonos irregulares
Observa que los polígonos F a K tienen los lados de distinta longitud y sus ángulos tampoco son iguales. Estos polígonos se llaman irregulares.
Contesta a estas cuestiones:
El polígono F es... |
|
El G es... |
|
El H es... |
|
El I es... |
|
El J es... |
|
El K es... |
|
4.- Polígonos regulares
A los polígonos que tienen sus lados y sus ángulos iguales los llamamos polígonos regulares.
Contesta a estas preguntas de polígonos regulares:
El polígono L es... |
|
El M es... |
|
El N es... |
|
El O es... |
|
El P es... |
|
5.- Elementos de un polígono
Observa el polígono ABCDE. Cada uno de los puntos es un vértice. En el dibujo hay 5 vértices: A, B, C, D y C. Los lados son los segmentos que componen el contorno. En este caso tenemos 5 lados: AB, BC, CD, DE y EA.
La diagonal es toda recta que une dos vértices no consecutivos. En el dibujo, de cada vértice salen 2 diagonales. En el dibujo hay 5 diagonales: AC, AD, BD, BE y CE.
Observando el dibujo contesta a estas preguntas:
El A es... |
|
El AB es... |
|
El AC es... |
|
El AD es... |
|
El D es... |
|
El AE es... |
|
El B es... |
|
El C es... |
|
El CD es... |
|
El BE es... |
|
El BC es... |
|
El CA es... |
|
suma de angulos
| Suma de ángulos en el sistema sexagesimal. | |
| La medida del tiempo, igual que los ángulos, se realiza en el sistema sexagesimal. Analicemos el siguiente problema: Luis es un corredor de maratón que para entrenarse corrió dos días seguidos una maratón. Obtuvo los siguientes registros: el primer día corrió la maratón en 2 h 48 min 35 s; el segundo día, en 2 h 45 min 30 s. ¿Cuánto tiempo corrió Luis en ambos días? Si sumamos por separado las horas, los minutos y los segundos, resulta: 2 h 48 min 35 s + 2 h 45 min 30 s 4 h 93 min 65 s Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto (60 segundos) y 5 segundos, luego la suma se puede escribir así: 4 h 94 min 5 s De la misma forma, 94 min equivalen a 1 hora y 34 minutos. Luego la suma es: 5 h 34 min 5 s |
unidades de medida
4. UNIDADES DE MEDIDA
Durante toda la historia de la humanidad, las personas han tenido la Necesidad de medir las cosas como el tiempo, la longitud, la masa... la cualidad que tienen los objetos de ser medidos es lo que se conoce por el nombre de magnitud. Pero no todas las cosas se pueden medir con la misma magnitud, por ejemplo, con la longitud se puede medir una mesa, pero no puedes medir un líquido.
el sistema métrico decimal es un sistema internacional de medidas para medir longitudes, áreas, volúmenes y capacidades y sirve para que los países que adopten este sistema, tengan las mismas unidades de medida. Recibe su nombre de la unidad de medida metro y al hecho de que las unidades se relacionan mediante potencias de 10. las magnitudes que pertenecen al sistema decimal son las siguientes:
Para medir las magnitudes, se usa un patrón fijo que es lo que se conoce por el nombre de unidad. Cada magnitud tiene una unidad principal y sobre ella se calculan sus múltiplos y submúltiplos.
a. UNIDADES PRINCIPALES
· La unidad principal de la medida de longitud es el metro y se escribe con una m
· La unidad principal de la medida de superficie es el metro cuadrado y se escribe m2
· La unidad principal de la medida de volumen es el metro cúbico y se escribe m3
· La unidad principal de la medida de capacidad es el litro y se escribe l
· La unidad principal de la medida de masa es el gramo y se escribe g
También podemos utilizar medidas antropométricas como por ejemplo, más o menos 4 pies o 5 manos es un metro
b. COMPARACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES DE LONGITUD Y MASA
o LONGITUD:
Múltiplos:
· miriámetro (mam) 1mm 10.000 metros
· Kilómetro (km) 1 km = 1.000 metros
· Hectómetro (hm) 1 hm = 100 metros
· Decámetro (dam) 1dam = 10 metros
· Decimetro (dm) 1dm 0,1 metros
· Centímetro (cm) 1cm 0,01 metros
· Milímetro (mm) 1mm 0,001 metros o Superficie=Múltiplos:
· Kilómetro cuadrado (km2) 1km2 = 1.000.000 m
· Hectómetro cuadrado (hm2) 1 hm2= 10.000 m
· Decámetro cuadrado (dam2) 1 dam2 = 100 m
Submúltiplos:
· Decímetro cuadrado (dm2) 1dm2 = 0,01 m
· Centímetro cuadrado (cm2) 1 cm2 =0,0001m
· Milímetro cuadrado (mm2) 1mm2 = 0,000001 m
o MASA:
Múltiplos:
· Miriagramos (mag) 1 mag = 10.000 g
· Kilogramo (kg) 1 kg = 1.000g
· Hectogramo (hg) 1hg = 100 g
· Decagramo (dag) 1 dag = 10 g
Submúltiplos:
· Decigramo (dg) 1 dg = 0,1 g
· Centigramo (cg) 1cg = 0,01 g
· Miligramo (mg) 1 mg = 0,001 g
el sistema métrico decimal es un sistema internacional de medidas para medir longitudes, áreas, volúmenes y capacidades y sirve para que los países que adopten este sistema, tengan las mismas unidades de medida. Recibe su nombre de la unidad de medida metro y al hecho de que las unidades se relacionan mediante potencias de 10. las magnitudes que pertenecen al sistema decimal son las siguientes:
- Longitud
- Superficie
- Volumen
- Capacidad
- Masa
Para medir las magnitudes, se usa un patrón fijo que es lo que se conoce por el nombre de unidad. Cada magnitud tiene una unidad principal y sobre ella se calculan sus múltiplos y submúltiplos.
a. UNIDADES PRINCIPALES
· La unidad principal de la medida de longitud es el metro y se escribe con una m
· La unidad principal de la medida de superficie es el metro cuadrado y se escribe m2
· La unidad principal de la medida de volumen es el metro cúbico y se escribe m3
· La unidad principal de la medida de capacidad es el litro y se escribe l
· La unidad principal de la medida de masa es el gramo y se escribe g
También podemos utilizar medidas antropométricas como por ejemplo, más o menos 4 pies o 5 manos es un metro
b. COMPARACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES DE LONGITUD Y MASA
o LONGITUD:
Múltiplos:
· miriámetro (mam) 1mm 10.000 metros
· Kilómetro (km) 1 km = 1.000 metros
· Hectómetro (hm) 1 hm = 100 metros
· Decámetro (dam) 1dam = 10 metros
Submúltiplos:
· Decimetro (dm) 1dm 0,1 metros
· Centímetro (cm) 1cm 0,01 metros
· Milímetro (mm) 1mm 0,001 metros o Superficie=Múltiplos:
· Kilómetro cuadrado (km2) 1km2 = 1.000.000 m
· Hectómetro cuadrado (hm2) 1 hm2= 10.000 m
· Decámetro cuadrado (dam2) 1 dam2 = 100 m
Submúltiplos:
· Decímetro cuadrado (dm2) 1dm2 = 0,01 m
· Centímetro cuadrado (cm2) 1 cm2 =0,0001m
· Milímetro cuadrado (mm2) 1mm2 = 0,000001 m
o MASA:
Múltiplos:
· Miriagramos (mag) 1 mag = 10.000 g
· Kilogramo (kg) 1 kg = 1.000g
· Hectogramo (hg) 1hg = 100 g
· Decagramo (dag) 1 dag = 10 g
Submúltiplos:
· Decigramo (dg) 1 dg = 0,1 g
· Centigramo (cg) 1cg = 0,01 g
· Miligramo (mg) 1 mg = 0,001 g
Sumar numeros enteros
Oscar y Gonzalo han ido de compras a un gran centro comercial.¿A qué planta ha ido cada uno después de aparcar el coche?
Oscar ha aparcado en el sótano 2 y ha subido 5 plantas. Para averiguar en qué planta está Oscar, tenemos que hacer una suma: -2 +5 =.........
sube 5 plantas
-2 + 5 = +3
Oscar ha ido a la 3ª planta.
 | Gonzalo ha aparcado en el sótano 4 y ha subido 3 plantas. Para averiguar en qué planta está Gonzalo, tenemos que hacer una suma: -4 +3 = ..... |
sube 3 plantas
-4 + 3 = -1
clasificasion de angulos
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS
| Nombre | Definición | Figura | |
| Ángulo recto | Mide 90° |
| |
| Ángulo agudo | Mide menos de 90° |
| |
| Ángulo obtuso | Mide más de 90° |
| |
| Ángulo extendido | Mide 180° |
| |
| Ángulo completo | Mide 360° |
|
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