las figuras geométricas

CURSO DE MATEMÁTICAS

Figuras Planas





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Curso de Matemáticas












CÍRCULOS

La definición matemática de un círculo establece que es una figura plana limitada por una línea curva, donde cada punto de la misma es igualmente equidistante del centro de la figura. Las partes de un círculo son su circunferencia, su radio y su diámetro.

PARTES DE UN CÍRCULO

La CIRCUNFERENCIA de un círculo es la línea que forma su límite externo. La circunferencia es el término especial utilizado para referirse al "perímetro" de un círculo. (Ver figura 17-17.) El RADIO de un círculo es la línea que une el centro con un punto de la circunferencia, como se muestra en la figura 17-17. Una línea recta que une dos puntos de la circunferencia de un círculo, y que pasa a través del centro, es un DIÁMETRO. Una línea recta que toca al círculo exactamente en un punto es una TANGENTE. Una tangente es una perpendicular al radio en el punto de tangencia.

Figura 17-17. Partes de un círculo.

Un ARCO es una porción de la circunferencia de un círculo. Una CUERDA es una línea recta que une los puntos extremos de cualquier arco. La porción del área de un círculo cortada por una cuerda es un SEGMENTO del círculo, y la porción del área del círculo cortada por dos radios (líneas radiales) es un SECTOR. (Ver figura 17-18.)

Figura 17-18. Arco, cuerda, segmento y sector.

FÓRMULAS PARA LA CIRCUNFERENCIA Y EL ÁREA

La fórmula para la circunferencia de un círculo se basa en la relación entre la circunferencia y el diámetro. Esta ccniparación puede realizarse experimentalmente marcando el borde de un objeto circular, tal como una moneda, y hacerla rodar (sin que deslice) a lo largo de una superficie plana, (Ver figura 17-19.)
La distancia desde la posición inicial a la posición final del disco en la figura 17-19 es aproximadamente 3,14 veces tan larga como el diámetro del disco. Con cualquier círculo se determina que sucede siempre lo mismo; pero no es posible dar el valor de C/d (circunferencia dividida por diámetro) con exactitud. La razón C/d se representa por el símbolo π, que es la letra griega pi. Entonces, tenemos las siguientes ecuaciones:

Figura 17-19. Medición de la circunferencia de un círculo

Esta fórmula establece que la circunferencia de un círculo es π veces el diámetro. Observe que puede escribirse como

C = 2r . π ó C = 2πr

ya que el diámetro d es lo mismo que 2r (el doble del radio).
Si bien el valor de π no es exactamente igual a ninguna expresión numérica que pudiéramos usar para ella, la razón es muy cercana a 3,14. Si se requiere mucha precisión se usa 3,1416 como valor aproximado.
Muchos cálculos que incluyen a π son satisfactorios si se emplea la fracción 22/7 como valor para π.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Calcular la circunferencia de cada uno de los siguientes círculos, usando para π, 22/7:
1. Radio = 21 cm.
2. Diámetro = 7,28 cm.
3. Radio = 14 m.
4. Diámetro = 2,8 m.

Respuestas:
1. 132 cm.
2. 22,88 cm.
3. 88 m.
4. 8,8 m.

Área - . El área de un círculo se determina multiplicando el cuadrado de su radio por π. La fórmula se escribe de este modo :

A = π r2

Ejemplo: : Determinar el área de un círculo cuyo diámetro es 4 m.

SOLUCIÓN : El radio es un medio del diámetro. por tanto,

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Determinar el área de cada uno de los siguientes círculos:

1. Radio = 7 cm.
2. Diámetro = 42 m.
3. Diámetro = 2,8 m.
4. Radio = 14 cm

Respuestas:
1. A = 154 cm2
2. A = 1.386 m2
3. 6,16 m2
4. 616 cm2

CÍRCULOS CONCÉNTRICOS

Los círculos que tienen un centro común se dice que son CONCÉNTRICOS. (Ver figura 17-20.)
El área del anillo entre los círculos concéntricos en la figura 17-20 se calcula así:

Figura 17-20. Cículos concéntricos.

Repare en que la última expresión es la diferencia de dos cuadrados. Factoreando, tenemos

A = π (R + r )(R - r)

Por tanto, el área de un anillo entre dos círculos se determina multiplicando π veces el producto de la suma y de la diferencia de los radios.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Determinar las áreas de los anillos entre los siguientes círculos concéntricos:

1. R = 4 cm

r = 3 cm


2. R = 6 m

r = 2 m
Respuestas,
1. 22 cm2 2. 100,6 m2

PRISMAS


Prisma regular es un cuerpo geométrico limitado por dos polígonos paralelos e iguales, llamados bases, y por tantos rectángulos como lados tenga cada base.

Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:


Volumen del prisma = área de la base . altura

A continuación están dibujados los prismas triangular, cuadrangular y hexagonal. Pulsando en cada una de ellas podremos observar el desarrollo de la figura correspondiente, así como las fórmulas para calcular el área lateral y total.






































PIRÁMIDES


Pirámide regular es un sólido que tiene por base un polígono y cuyas caras son triángulos que se reúnen en un mismo punto llamado vértice.

Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:


Volumen de la pirámide = (área de la base . altura) / 3

A continuación están dibujados el tetraedro, la pirámide triangular y la cuadrangular. Pulsando en cada una de ellas podremos observar el desarrollo de la figura correspondiente, así como las fórmulas para calcular el área lateral y total.

Tetraedro: es una pirámide formada por cuatro triángulos equiláteros. Cualquier cara, por tanto, puede ser la base.









Pirámide triangular: la base es un triángulo equilátero y las caras laterales son triángulos isósceles.














Pirámide cuadrangular: aquí la base es un cuadrado, teniendo cuatro caras laterales.









CONO



El cono es el sólido engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.
Para calcular su área lateral, su área total así como para ver su desarrollo pulsar sobre la figura anterior
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:

Volumen del cono = (área de la base.altura) / 3
CILINDRO






El cilindro es el sólido engendrado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados.
Para calcular su área lateral, su área total así como para ver su desarrollo pulsar sobre la figura anterior
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:

Volumen del cilindro = área de la base.altura


ESFERA








La esfera es el sólido engendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.
Para calcular su área se emplea la siguiente fórmula:

Área de la esfera = 4 .3'14.radio al cuadrado

Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:

Volumen de la esfera = 4/3 .3'14.radio al cubo